不等式
⓵有哪些常用的基本不等式？
基本不等式有很多种，以下是其中的20种基本不等式：
1.一元一次不等式：
形如ax+b>0或ax+b<0的不等式，其中a和b都是实数且a不为0。
2.一元二次不等式：雀链
形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0的不等式，其中a、b和c都是实数且a不为0。
3.加法不等式：
对于任意的实数a、b和c，如果a>b，则a+c>b+c。
4.减法不等式：
对于任意的实数a、b和c，如果a>b，则a-c>b-c。
5.乘法不等式：
对于任意的实数a、b和c，如果a>b且c>0，则ac>bc；如果a<b且c<0，则ac<bc。
6.除法不等式：
对于任意的实数a、b和c，如果a>b且c>0，则a/c>b/c；如果a<b且c<0，则a/c<b/c。
7.平方不等式：
对于任意的实数a和b，如果a>b，则a2>b2。
8.平方根不等式：
对于任意的非负实数a和b，如果a>b，则√a>√b。
9.绝对值不等式：
对于仿岁友任意的实数a和b，如果|a|>|b|，则a2>b2。
10.三角不等式：
对于任意的实数a、b和c，有|a+b|≤|a|+|b|。
11.均值不等式：
对于任意的正实数a1、a2、 、an，有（a1+a2+ +an）/n≥√(a1*a2* *an)。
12.柯西-施瓦茨不等式：
对于任意的实数a1、a2、 、an和b1、b2、 、bn，有|(a1*b1+a2*b2+ +an*bn)|≤(√(a12+a22+ +an2))*(√(b1^2+b22+ bn2))。
13.马尔可夫不等式：
对于任意的非负实数a和b，以及正整数n，有（a+b）n≥an+n*a(n-1)*b。
14.切比雪夫不等式：
对于任意的非负实数a1、a2、 、an和正实数r，有P(|X-μ|≥r)≤(σ2)/r2，其中X是随机变量，μ是其均值，σ是其标准差。
15.杨辉三角不等式：
对于任意的非负整数n和k，有C(n,0)+C(n,1)+ +C(n,k)≤2n，其中C(n,k)表示组合数。
16.排列不等式：
对于任意的非负整数n和k，有C(n,k)≤(n/(n-k))(n-k)，其中C(n,k)表示组合数。
17.赫尔德不等式：
对于任意的实数a1、a2、 、an和b1、b2、 、bn，以及实数p和q满足1/p+1/q=1，有|(a1*b1+a2*b2+ +an*bn)|≤√(a1p+a2p+ +an^p))*(√(b1q+b2q+ bnq))。
18.线性规划不等式：
对于一组线性约束条件下的最优化问题，其约束条件可以表示成一系列的不等式。
19.近似不等式：
常用于近似计算中，比如π的近似值3.14就是一个不等式的近似。
20.概率不等式：
用来估计随机事件发生的概率上（或下）界，如马尔可夫不等式、切比雪夫不等式等。
总结：
基本不等式备槐包括一元一次不等式、一元二次不等式以及加法、减法、乘法、除法、平方、平方根、绝对值、三角、均值、柯西-施瓦茨、马尔可夫、切比雪夫、杨辉三角、排列、赫尔德、线性规划、近似和概率不等式等多种类型。
这些不等式在数学中具有重要的应用价值，能够帮助解决各种实际问题和优化计算。
⓶不等式有哪些公式?
1、基本不等式：
√(ab)≤(a+b)/2
那么可以变为a^2-2ab+b^2≥0
a^2+b^2≥2ab
ab≤a与b的平均数的平方
2、绝对值不等式公式：
||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|
||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|
3、柯西不等式：
设a1,a2,…an,b1,b2…bn均是实数，则有(a1b1+a2b2+…+anbn)^2≤(a1^2+a2^2+…an^2)*(b1^2+b2^2+…bn^2)当且仅当ai=λbi(λ为常数，i=1,2.3,…n)时取等号。
4、三角不等式
对于任意两个向量 、 ，其加强的不等式
这个不等式也可称为向量的三角不等式。
5、四边形不等式
如果对于任意的a1≤a2<b1≤b2，
有m[a1,b1]+m[a2,b2]≤m[a1,b2]+m[a2,b1]，
那么m[i,j]满足四边形不等式。
参考资料：百度百科-不等式公式
⓷基本不等式公式有哪些？
基本不等式公式：
1、加减不等式：若a<b，则a+c*b+c（其中c为任意实数），同理，若a>b，则a+c>b+c。
2、乘法不等式：若a，b，c>0（或c<0），则ac<bc(或ac>bc)；
若a<b，c>0（或c>0），则ac>bc(或ac<bc)。
3、平方不等式：若a是任意实数，则有a^2≥0；
对于任意实数a和b，有(a+b)^2≥0，即a^2+2ab+b^2≥0；
对于任意实数a和正实数b，有a^2+b^2≥2ab，即(a-b)^2≥0。
4、倒数不等式：若a,b,c都是正实数，则有1/a1/b,若a>b>0，则1/a<1/b<1/c。
5、绝对值不等式：对于任意实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|，即两实数的绝对值之和不大于它们的各自绝对值之和。
这些基本公式是解决不等式问题的基础。 在实际应用中，可以根据不同情况和需要，灵活应用这些公式。
知识拓展：
基本不等式应用：
一、应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”。 所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件。
二、在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式。
三、条件最值的求解通常有两种方法：
1、消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；
2、将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值。
⓸重要不等式的公式
重要不等式的公式如下：
1、均值不等式：对于任意实数x和y，有（x+y）/2>=sqrt（xy），当且仅当x=y时等号成立。 这个不等式表明两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
2、柯西不等式：对于实数x和y，有（x^2+y^2）>=（x+y）^2/2，当且仅当x=y时等号成立。 这个不等式表明两个数的平方和不小于它们和的平方的一半。
3、三角不等式：对于任意实数x和y，有|x+y|>=||x|-|y||，当且仅当x和y具有相同符号时等号成立。 这个不等式表明两个数的和的绝对值不小于它们绝对值的和。
4、排序不等式：对于任意实数x，y和z，有（x-z）^2>=0，当且仅当x=z时等号成立。 这个不等式表明两个数的差的平方是非负数。
重要不等式在生活中的应用：
1、投资组合优化：在投资域中，投资者通常会选择一组不同的投资品种来分散风险。 重要不等式中的均值不等式可以用来确定投资组合的预期收益率。 通过计算各种投资品种的预期收益率的加权平均数，投资者可以了解整个投资组合的预期收益。
2、资源分配问题：在资源分配问题中，往往需要对有限的资源进行合理的分配，以最大限度地满足不同的需求。 重要不等式中的均值不等式可以用来确定最优分配方。
3、最大利润问题：在生产和销售过程中，企业需要确定最优的生产规模和销售价格，以获得最大利润。 这需要使用重要不等式中的基本不等式来求解。 基本不等式可以帮助企业确定生产规模和销售价格的最优组合，以实现最大利润。