江苏省数学竞赛2022题目

高一年级组
第一题
已知圆O的直径AB与弦CD相交于点E，且AE=CE。直径AB、弦CD所在直线为l，直线l的垂直平分线交圆O于点M和N（M在N的左侧）。若AB=6，∠BAC=30°，求MN的长度。
第二题
已知函数f(x)的图像是y=ax²+bx+c（a≠0），且当x=1时，f(1)=0；当x=3时，f(3)=10。
（1）求f(x)的解析式。
（2）若函数g(x)=|f(x)-4|，求g(x)的最小值。
第三题
在△ABC中，∠A=90°，BC=6，点P在边AC上，且BP=3。过点P作PC的平行线，交边AB于点Q。
（1）求△BPC的面积。
（2）若∠CQB=∠PQC，求△PBQ的面积。
第四题
在正方形ABCD中，点P在边AB上，点Q在边BC上，∠APQ=30°，|PQ|=1。证明：|PQ+QC|=|PQ-QC|。
第五题
已知集合A={x|x∈R，|x-2|≤3}，集合B={x|x∈R，|x+1|≥2}。
（1）求集合A∩B。
（2）若集合C={x|x∈R，mx+n>0}，且A∪C=R，求m和n。
高二年级组
第一题
已知实数a、b满足a+b=3，ab=2。
（1）求a²b+ab²的值。
（2）求函数f(x)=(a-x)(b-x)的最大值。
第二题
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=4，过点B作BE⊥AC于点E，过点C作CF⊥AB于点F。
（1）求BF的长度。
（2）求△BEF的面积。
第三题
已知函数f(x)=ax²+bx+c（a≠0），且当x=1时，f(1)=0；当x=2时，f(2)=2；当x=3时，f(3)=6。
（1）求f(x)的解析式。
（2）求方程f(x)=k的实根个数，其中k为常数。
第四题
已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为2，E是边AB的中点，F是边CD的中点。
（1）证明：直线EF⊥平面ABC。
（2）求点E到B'C'D的距离。
第五题
已知集合A={x|x∈R，|x-2|≤1}，集合B={x|x∈R，|x+1|≥2}。
（1）求集合A∩B。
（2）若集合C={x|x∈R，mx+n≤0}，且A∪C=R，求m和n。