2022高考数学一卷第七题
顾孟芫2024-04-27 16:14:3415教算术百科4348
大家好！今天让小编来大家介绍下关于2022高考数学一卷第七题的问题，以下是小编对此问题的归纳整理，让我们一起来看看吧。
题目：
已知 $f(x) = \ln (e^x - 1)$，求函数 $f(x)$ 的导数。
解答：
方法一：对数求导法
根据对数求导法，对于 $f(x) = \ln u$，其中 $u$ 是 $x$ 的可导函数，则 $f'(x) = \frac{u'}{u}$。
令 $u = e^x - 1$，则 $u' = e^x$。
因此，$f'(x) = \frac{e^x}{e^x - 1}$。
方法二：复合函数求导法
令 $g(x) = e^x - 1$ 和 $h(x) = \ln x$，则 $f(x) = h(g(x))$。
根据复合函数求导法，$f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x)$。
其中，$h'(x) = \frac{1}{x}$ 和 $g'(x) = e^x$。
因此，$f'(x) = \frac{1}{e^x - 1} \cdot e^x = \frac{e^x}{e^x - 1}$。
结论：
函数 $f(x)$ 的导数为 $f'(x) = \frac{e^x}{e^x - 1}$。
题目：
已知 $f(x) = \ln (e^x - 1)$，求函数 $f(x)$ 的导数。
解答：
方法一：对数求导法
根据对数求导法，对于 $f(x) = \ln u$，其中 $u$ 是 $x$ 的可导函数，则 $f'(x) = \frac{u'}{u}$。
令 $u = e^x - 1$，则 $u' = e^x$。
因此，$f'(x) = \frac{e^x}{e^x - 1}$。
方法二：复合函数求导法
令 $g(x) = e^x - 1$ 和 $h(x) = \ln x$，则 $f(x) = h(g(x))$。
根据复合函数求导法，$f'(x) = h'(g(x)) \cdot g'(x)$。
其中，$h'(x) = \frac{1}{x}$ 和 $g'(x) = e^x$。
因此，$f'(x) = \frac{1}{e^x - 1} \cdot e^x = \frac{e^x}{e^x - 1}$。
结论：
函数 $f(x)$ 的导数为 $f'(x) = \frac{e^x}{e^x - 1}$。
